更新日2017/04/19

円順列・重複順列

要点

円順列

円順列では回転して並びが同じになるものがある。
そのため普通の順列を考えて、同じものの個数で割る。
n個の場合、同じものはnできるので、nPn÷n=(n-1)!

または、1つを固定して残りで順列をつくる。
n個の場合、1つ固定して(n-1)個の順列なのでn-1Pn-1=(n-1)!

異なるn個からr個とって並べる順列では、同じものがr個できるので
nPr÷r=nPrr となる。

異なるn個のものの円順列 (n-1)!
異なるn個からr個とって並べる円順列 nPrr

【例】
7人の生徒が円形のテーブルに着席する並び方
(7-1)!=6!=720 通り

じゅず順列

じゅずつなぎの輪をつくる場合、裏返すと同じものがあるので、円順列を2で割る
(n-1)!÷2=(n-1)!2

【例】
異なる5種類の石でネックレスをつくる方法は何通りか。
(5-1)!÷2=4!÷2= 12通り

重複順列

異なるn個のものから重複をゆるしてr個取り出してならべる順列を重複順列という。


【例】1,2,3の3つの数字で重複をゆるして4桁の数字をつくる
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
各桁は1,2,3の3通り使えるので34=81通り

異なるn個のものから重複をゆるしてr個並べる並べ方は nr

組み分け(2組)

異なるn個のものを区別のある2つの箱に入れる入れ方

空の箱ができてもいい場合
1つのものについてAまたはBの2通りの選び方があるので 2n(通り)
空の箱ができてはいけない場合
Aにすべて入るのと、Bにすべてはいるので2通りをひく 2n-2(通り)

異なるn個のものを区別のない2つの箱に入れる入れ方

上記の箱の区別をなくすために2で割る
空箱ができてもいい場合 2n-1(通り)
空箱ができてはいけない場合  2n-1-1(通り)

例題と練習

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